作业帮四棱锥 立体几何求第二问
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:52:55
四棱锥 立体几何求第二问
四棱锥 立体几何
求第二问
四棱锥 立体几何求第二问
(2)
解法一：
设E为SD的中点,连接AE
∵ABCD为正方形
∴CD⊥AD
∵SA⊥平面ABCD,CD∈平面ABCD
∴CD⊥SA
∴CD⊥平面SAD
又∵AE∈平面SAD
∴AE⊥CD
∵SA⊥AD,SA=AD,E为SD中点
∴等腰直角△SAD中(∠ASD=45°),AE⊥SD
∴AE⊥平面SCD
∴AE与平面SCD所成的角为∠ASD,即为45°.
解法二：等体积法(当直接做平面的垂线困难时此法甚优).
连接AC
∵三棱锥S-ACD与三棱锥A-SCD是同一个三棱锥
∴V三棱锥S-ACD=V三棱锥A-SCD
∵SA⊥平面ABCD,且ABCD为正方形
∴S△ACD=a²/2,CD⊥平面SAD
∴V三棱锥S-ACD=S△ACD*SA/3=a³/6
∵SA⊥平面ABCD,SA=AB=a
∴△SAD为等腰直角三角形,SD=√2a
∵CD⊥平面SAD
∴CD⊥SD,S△SCD=CD*SD/2=√2a²/2
设A点到平面SCD的距离为h
V三棱锥A-SCD=S△SCD*h/3=a³/6,即h=√2a/2
设SA与平面SCD所成的角为β,则sinβ=h/SA=√2/2
∴β=45°
在有些题目做辅助线非常困难,建立向量坐标又非常繁琐,等体积法就是个不错的选择,